PLANTEAMIENTO

Se explica cómo ubicar números irracionales construibles en la recta real.

UBICACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES CONSTRUIBLES EN LA RECTA REAL

Tanto a los números enteros como los racionales se les pueden asignar un punto de la recta, o dicho en otras palabras se pueden construir segmentos de longitud entera o racional.

A pesar de sus características particulares de que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, con los números irracionales también es posible hacer lo mismo.

Dado un número irracional de la forma , se le puede asignar un punto de la recta procediendo de la siguiente manera:

- Se expresa como la suma de dos números y .

- Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos tengan longitud y

- Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que el cuadrado de la hipotenusa es igual a de modo que la hipotenusa de dicho triángulo tiene longitud

- Se traslada con un compás la longitud de la hipotenusa a partir del origen y se tiene el punto de la recta que corresponde al irracional

- El proceso se puede simplificar si al hacer la elección de los valores y de forma tal que sean cuadrados perfectos, es decir que sus raíces sean números enteros.

Ejemplos.

Asignar un punto de la recta a los siguientes números irracionales:

1)

Solución.

Se construye un triángulo rectángulo con catetos de longitud La hipotenusa de dicho triángulo tiene por longitud

Con la ayuda de un compás se traslada esta longitud sobre una recta fijando la aguja del compás en el origen, y allí donde cae la otra punta del compás se encuentra el punto de la recta correspondiente al número irracional La siguiente figura muestra la construcción:

2)

Solución.

Se construye un triángulo rectángulo con catetos de longitud y La hipotenusa de dicho triángulo tiene por longitud

Con la ayuda de un compás se traslada esta longitud sobre una recta fijando la aguja del compás en el origen, y allí donde cae la otra punta del compás se encuentra el punto de la recta correspondiente al número irracional La siguiente figura muestra la construcción:

3)

Solución.

Se construye un triángulo rectángulo con catetos de longitud y La hipotenusa de dicho triángulo tiene por longitud

Con la ayuda de un compás se traslada esta longitud sobre una recta fijando la aguja del compás en el origen, y allí donde cae la otra punta del compás se encuentra el punto de la recta correspondiente al número irracional La siguiente figura muestra la construcción:

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Notar que la se construye mediante la operación marcada en rojo.

2. Mover los deslizadores y para seleccionar el número cuya raíz cuadrada se desea ubicar en el plano.

3. Mover el deslizador para entender el procedimiento.

4. Concluir que, en este caso, la raíz cuadrada de algunos números naturales se pueden ubicar en la recta real aplicando convenientemente el teorema de Pitágoras cuyos catetos son números naturales.

5. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.