PLANTEAMIENTO
Se explica cómo se obtiene la espiral áurea también llamada la espiral de
Durero.
LA DIVINA PROPORCIÓN.
NÚMERO DE ORO Y LA ESPIRAL ÁUREA
Buscando
siempre el ideal de belleza y por tanto de proporción se llegó hasta la divina proporción encontrada mediante la
“proporción áurea”. Sin ninguna duda, ésta es la proporción más famosa.
Leonardo da Vinci le otorgaría el nombre de número
de oro. Simbólicamente se le designa por la letra griega f,
inicial de Fidias, escultor y arquitecto del Partenón de Atenas.
Algunos
historiadores de la ciencia sostienen que en dicha proporción, y no en la
existente entre la diagonal y el lado del cuadrado, se descubrió la existencia
de las magnitudes inconmensurables. En su apoyo estaría la relación existente entre
el número de oro y el polígono regular estrellado de 5 puntas, emblema de la
secta de los pitagóricos, filósofos griegos para quienes los números eran el
elemento cognoscible de la naturaleza.
Se llama rectángulo de oro o áureo a aquél del
que si se sustrajera un cuadrado el nuevo rectángulo resultante sería semejante
al primero, gráficamente esto es:
Usando el
lenguaje de las proporciones, el número de oro, 
es cualquiera de estas razones:
Para
construir un rectángulo áureo se parte de un cuadrado 
y por el punto medio de uno de sus lados, 
por ejemplo, se traza el segmento que lo une a
uno de los vértices del lado opuesto. A dicho segmento se le ubica sobre la
prolongación del lado obteniendo el lado mayor del rectángulo áureo,
y siendo su lado menor el lado del cuadrado.
Aplicando el
teorema de Pitágoras en el triángulo de a figura anterior se tiene que:
Haciendo la
prolongación correspondiente, la longitud del lado 
es:
Si se toma
como unidad la medida del lado del cuadrado, la proporción áurea adoptaría la
forma:
El segmento es la representación geométrica del número de
oro.
Sustituyendo
por 
se obtendrían las igualdades
ecuación
cuadrática cuya solución positiva es:
El poder de
autorreproducción del número de oro se refleja también en sus propiedades
algebraicas. Si se considera la sucesión geométrica de las potencias del número
el cociente
entre cualquiera de los términos de la sucesión y su precedente es el número de
oro.
Tomándolos
por parejas y haciendo de ellas las medidas de los lados de rectángulos, se
obtendrían infinidad de modelos, ascendentes y descendentes del rectángulo
áureo.
La
construcción de la espiral áurea o espiral de Durero, se sustenta sobre el
poder autorreproductivo de los rectángulos áureos como se muestra en la
siguiente figura:
El
rectángulo áureo está también presente en muchos objetos y emblemas de nuestra
cultura. En su propiedad autorreproductiva y en la generación indefinida del
mismo patrón, sin elementos externos, y a distintas escalas, podría residir la
razón de la aparición del número de oro, y de su acompañante la sucesión de
Fibonacci, en ciertas estructuras biológicas, como muchas formas vegetales
(flores y frutos) y animales (conchas de moluscos).
PROPUESTA
DE TRABAJO
1.
Pulsar el ícono Pausa/Play y ver cómo se
construye un rectángulo áureo basado en cuadrados.
2.
Observar que con base en el primer cuadrado se
construye un rectángulo áureo.
3.
Junto al primer cuadrado se construye otro cuadrado (de color
morado) tomando como lado la extensión realizada para generar el rectángulo
áureo.
4.
Sobre el rectángulo restante, nuevamente se
traza un cuadrado (de color verde) cuyos lados es igual a su altura.
5.
Sobre el rectángulo restante, nuevamente se
traza un cuadrado (de color amarillo) cuyos lados es igual a su base.
6.
Sobre el rectángulo restante, nuevamente se
traza un cuadrado (de color café) cuyos lados es igual a su altura.
7.
Sobre el rectángulo restante, nuevamente se
traza un cuadrado (de color azul) cuyos lados es igual a su base.
8.
Se traza un arco de circunferencia en cada
cuadrado y la figura que se obtiene es la espiral áurea, que también recibe el
nombre de Espiral de Durero.
9.
Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para
regresar a la construcción inicial.