PLANTEAMIENTO
Se exponen la suma de una progresión geométrica decreciente infinita y su
interpretación geométrica.
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE INFINITA
De la fórmula para
calcular los términos de una progresión geométrica 
, se
sustituye 
por su valor 
, se tiene
que:
o bien, si se cambian
los signos a los dos términos de la fracción se tiene:
En una progresión
geométrica decreciente la razón es una fracción propia (menor que uno), y si
esta razón se eleva a una potencia, cuanto mayor sea el exponente, menor es la
potencia de la fracción. Por tanto, entre más grande sea el exponente, menor
será 
y también 
Siendo 
lo suficientemente grande, 
tiende a cero. Esto es:
por lo que cuando el
número de términos de la progresión geométrica tiende a infinito, el valor de
la suma es:
Ejemplo.
Hallar la suma de la
siguiente progresión geométrica infinita:
Solución.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE
Sea un cuadrado ABCD
que tiene cuatro centímetros de lado. Si se construyen una serie de cuadrados,
de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los vértices del
segundo, los puntos medios de los lados de éste, sean los vértices del tercero,
y así sucesivamente, se obtiene una figura como la siguiente:
El cuadrado ABCD es 
El cuadrado EFGH es la mitad del cuadrado
ABCD, por lo tanto el área de los triángulos HAE, EBF, FCG y GDH es la otra
mitad del cuadrado ABCD. Por tanto, el área de los triángulos del primer
cuadrado interior es igual a 
En forma semejante se
obtienen las áreas de los demás triángulos. Haciendo la suma de todos ellos, se
tiene:
Área de los triángulos
del primer cuadrado interior es
Área de los triángulos
del segundo cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del tercer cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del cuarto cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del quinto cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del sexto cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del séptimo cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del octavo cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del noveno cuadrado interior es 
Área de los triángulos
del décimo cuadrado interior es 
La suma de las áreas de
los triángulos de los primeros diez cuadrados interiores es 
De este ejemplo, se
observa que lo números 
forman una progresión geométrica decreciente,
de razón 
. El valor
de cada término disminuye, y un término se acerca más a cero cuanto mayor sea
el número de los términos que le preceden.
La suma de los términos
es constantemente inferior a 
, resultado
que pudo obtenerse mediante la fórmula:
PROPUESTA
DE TRABAJO
1.
Notar que en la 
el primer valor 
es (la mitad del lado del cuadrado) y la razón es
por lo que se trata de una progresión
geométrica decreciente.
2.
Al hacer crecer sucesivamente el número de
términos 
se convierte en una 
decreciente infinita.
3.
Ver que para 
se
genera un cuadrilátero de área 
.
4.
Observar que para 
se
generan dos cuadriláteros cuyas sumas de área son 
.
5.
Ver que para 
se
generan tres cuadriláteros cuyas sumas de área son 
.
6.
Notar que para 
se
generan cuatro cuadriláteros cuyas sumas de área son 
.
7.
Observar que cada vez son más pequeñas las áreas obtenidas.
8.
Concluir como la suma de la progresión geométrica decreciente
infinita es igual a uno, que concuerda con el resultado de la expresión: 
9.
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