PLANTEAMIENTO

Se trata comprender el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial y que es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.

TESIS

Si y = f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe por lo menos un valor x₁ que pertenece al intervalo (a,b) en que se cumple que:

DEMOSTRACIÓN

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es:

construyendo la función F(x) pasando el término del segundo miembro al primero:

sustituyendo x=a y después x=b, se tiene:

Se aprecia que F(x) satisface todas las hipótesis del Teorema de Rolle. Por lo tanto debe existir un valor tal que F’(x₁)=0.

Ahora, derivando F(x):

Como F’(x₁)=0, esto implica que:

por lo tanto el teorema queda demostrado.

CONCLUSIÓN

El teorema establece que existe por lo menos un punto P₁(x₁, y₁) de la curva entre los puntos P y Q en la cual la recta tangente a dicha curva es paralela a la secante que pasa por dichos puntos.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Comprobar que la línea roja representa a la secante entre los puntos A y B.

2. Comprobar que el punto c, está en el intervalo (a,b).

3. La derivada en el punto C representa la pendiente de la recta tangente de la curva.

4. Mover lentamente el punto c hasta que se la derivada sea paralela a la secante, cuando son iguales aparece en color verde.