PLANTEAMIENTO

Se expone el concepto de longitud de arco y como calcularla a través de la integral.

LONGITUD DE ARCO

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Las primeras mediciones se hicieron posibles a través de aproximaciones trazando un polígono dentro de la curva y calculando la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible, como lo muestra la siguiente figura:

Para determinar formalmente la longitud del arco de una curva con ecuación , comprendida entre los puntos y se considera la siguiente figura:

Como se muestra, el arco se divide en partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos. Por ejemplo, el segmento tendrá como longitud:

Si se aumenta indefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que el

resulta ser el arco , siempre que el límite exista.

Para expresar el límite como una integral se considera que la función sea continua y posea derivada continua en cada punto de la curva, desde hasta Luego, por el teorema del valor medio del cálculo diferencial, existe un punto entre los puntos y de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda , esto es:

es decir:

Así que:

puede expresarse como:

que equivale a:

que como ya se sabe, corresponde a la definición de integral:

Nótese como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes coordenados. Si puede expresarse como función de , entonces la longitud del arco está dada por:

CONCLUSIÓN

La longitud del arco, de la curva comprendida entre las abscisas y viene dado por la integral definida:

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Ver el comportamiento de la función en color verde.

2. Identificar los límites y de la longitud de arco.

3. Modificar el valor de en el deslizador y comprobar que tiende a parecerse a la función en color verde.

4. Comparar la longitud de arco calculada por la integral y su aproximación.

5. Modificar la función, los límites y y repetir el proceso.

6. Concluir que a medida que los pequeños segmentos de recta se ajustan a la curva, la aproximación al valor obtenido por la integral es mejor.

7. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.