PLANTEAMIENTO
Se ilustra
geométricamente el comportamiento del límite de una función racional.
CÁLCULO
DE LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES
Sean P y Q dos polinomios en x.
Para encontrar el límite
de la forma: 
se sustituye el valor de
x por el de 
y puede
aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:
Hay tres situaciones
factibles:
1. Si el valor del
denominador es diferente de cero:
Se calculan los límites
de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.
2. Si el valor del
denominador es cero hay dos casos:
2.1. Que el denominador se anule en y que el numerador también se
anule en :
En este caso se tiene una indeterminación de la
forma 
y el
cociente se puede simplificar factorizando.
2.2. Que el denominador se anule en , y que el numerador no se anule en :
En este caso se tiene una expresión de la forma 
Para
resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la
función 
en el punto . Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite
su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.
Ejemplos.
1) 
2) 
3) 
, 
Como
los límites laterales coinciden:
4) 
Como
los límites laterales no coinciden:
CONCLUSIÓN
Dependiendo
del caso que se trate, el límite de una función racional puede o no existir.
PROPUESTA
DE TRABAJO
1.
Identificar que 
es
el polinomio de color verde. Mover sus parámetros para ver su comportamiento.
2.
Identificar que 
es
un polinomio de color azul. Mover sus parámetros para ver su comportamiento.
3.
Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para
regresar a la construcción inicial.
4.
Notar que la función racional 
en
color rojo es 
.
5.
Verificar que las raíces de Q que son reales, cruzan el eje x y provocan que la gráfica en rojo no exista.
6.
Mover el punto A hasta x = 2 y advertir que como el valor del denominador es
diferente de cero, su límite es el cociente de los polinomios (P(2) en verde entre Q(2) en azul).
7.
Establecer 
y observar
que los dos polinomios poseen la misma raíz (en x = -3), así que el límite de la función racional
existe. Concluir que la función en ese punto no existe, pero la gráfica muestra
que el límite es 0.25 ya que:
.
8.
Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para
regresar a la construcción inicial.
9.
Ajustar los parámetros de los polinomios para calcular
geométricamente los ejemplos expuestos. Analizar analítica y geométricamente
cada caso, considerando lo expuesto en el punto 7.