PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente el concepto de integral definida.

PARTICIONES

Sea un intervalo cerrado , al conjunto de puntos contenidos en dicho intervalo se le conoce como partición del intervalo .

Esto implica que: donde .

A cada subintervalo se le conoce como celda. A la distancia entre los puntos extremos de cada celda se le conoce como amplitud de la celda.

La amplitud de la primera celda es:

La amplitud de la segunda celda es:

La amplitud de la tercera celda es:

Como se puede advertir, la amplitud de las celdas viene dado por la diferencia de sus valores finales e iniciales. Por lo tanto, en general, la amplitud de cada celda viene dada por:

A la mayor amplitud de las celdas de una partición se le denomina norma de la partición y se le denota por .

SUMA DE RIEMANN

Sea una función definida y limitada en un intervalo . Considérese una partición en dicho conjunto que contenga n subintervalos.

Si se escoge un punto x en cada subintervalo de la partición de forma tal que:

o bien

y en general:

o bien

Si se forma la suma de productos del valor de f en cada punto x por la amplitud de la celda respectiva, se tendrá:

que en forma concentrada se puede representar como:

expresión que se conoce como Suma de Riemann (llamada así en memoria del matemático alemán G.F. Berhnard Riemann, 1826-1866).

Esta expresión calcula la suma de cada una de las bases (las celdas, ) por su respectiva altura (que son las ) de una función, dada una partición. Esto determina la suma de las áreas de los rectángulos formados.

INTEGRAL DEFINIDA

Si f es una función definida en el intervalo , entonces la integral definida de f de a a b se define como:

(si el límite existe).

se llama integrando.

a y b son los extremos o límites de integración (a es el extremo inferior y b es el extremo superior).

se llama signo de integración.

Si implica que , por lo tanto:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La suma de Riemann:

representa la suma de los n rectángulos. Si la norma de la partición tiende a cero implica que el número de celdas se incrementa, es decir que cada vez se tienen más y más rectángulos que se aproximan al área real bajo la curva.

La interpretación geométrica de la integral definida es el área bajo la curva de una función en sus límites de integración.

Geométricamente:

Es importante señalar que para algunos autores, cuando el área bajo la curva es negativa, se usa el valor absoluto para que no existan áreas negativas.

CONCLUSIÓN

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función que es mayor o igual que 0 en , se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones y . Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto, si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje x.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Mover los límites de integración que son los puntos rojos y .

2. Activar la casilla respectiva para ver las sumas superiores.

3. Activar la casilla respectiva para ver las sumas inferiores.

4. Observar que hay dos sumas: la superior (que se toma al inicio de cada celda en color morado) y la inferior (que se toma al final de cada celda en color verde).

5. Notar que el área aproximada puede obtenerse como el promedio de la suma superior y la suma inferior.

6. Activar la casilla para obtener el área real que representa la integral definida.

7. Para seleccionar el número de celdas, mover el deslizador.

8. Nótese que a medida que n crece, la variación entre el promedio tiende al área real.

9. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.