PLANTEAMIENTO
Se ilustra geométricamente como se comporta la
derivada de la función exponencial.
DEFINICIÓN
Una función se llama exponencial cuando es de la forma donde
la base a
es un número real positivo y distinto de uno.
Sea una función .
En general, posee las siguientes
características:
· El dominio de la función es:
· El rango de la función es:
· No cruza al eje x.
· Corta al eje y
en el punto
· Pasa por el punto
· Es continua.
Se tienen dos casos:
1.
Cuando la base a es mayor que uno siempre es creciente y lo es más, a
medida que la base se incrementa.
2.
Cuando la base a es mayor que cero y menor que uno la función es
decreciente y lo es más, a medida que su base se aproxima a cero.
DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Sea la función ,
Obteniendo los logaritmos naturales de ambos
miembros se tiene que:
Que equivale a:
Derivando con respecto a x:
Finalmente se llega a:
CONCLUSIÓN
La derivada
de una función exponencial de base a es igual a la misma función multiplicada por
el logaritmo natural de la base.
PROPUESTA
DE TRABAJO
1.
Modificar el
deslizador hacia la derecha hasta llegar a y
observar como la función exponencial crece más rápido.
2.
Mover el deslizador
hacia la izquierda hasta llegar y mirar
lo que le sucede a la función exponencial.
3.
Regresar el
deslizador hacia la izquierda hasta llegar
.
4.
Modificar el
deslizador hacia la derecha. Mover el punto rosa y
observar como se comporta la pendiente de la tangente de la función exponencial
en color rosa.
5.
Notar que la
pendiente de la recta tangente es la ordenada de la función derivada cuya
abscisa es la misma que la del punto .
6.
Comprobar esto
activando la casilla que activa el trazo.
7.
Pulsar el icono que
se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.
8.
Repetir el proceso
para diferentes valores de la base a y analizar el comportamiento de la función
derivada.
9.
Advertir que cuando se tienen bases
menores que uno y mayores que cero, la derivada es negativa.
10.
Notar que si
la base es el número e, entonces la derivada se simplifica a: .