PLANTEAMIENTO

 

Se ilustra geométricamente como se comporta la derivada de la función exponencial.

 

 

DEFINICIÓN

 

Una función se llama exponencial cuando es de la forma   donde la base a es un número real positivo y distinto de uno.

 

Sea una función .

 

En general, posee las siguientes características:

 

·       El dominio de la función es:

·       El rango de la función es:

·          No cruza al eje x.

·       Corta al eje y en el punto

·       Pasa por el punto

·          Es continua.

 

Se tienen dos casos:

 

1. Cuando la base a es mayor que uno siempre es creciente y lo es más, a medida que la base se incrementa.

 

 

2. Cuando la base a es mayor que cero y menor que uno la función es decreciente y lo es más, a medida que su base se aproxima a cero.

 

 

 

DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

 

Sea la función ,

 

Obteniendo los logaritmos naturales de ambos miembros se tiene que:

 

 

Que equivale a:

 

 

Derivando con respecto a x:

 

 

 

Finalmente se llega a:

 

 

 

CONCLUSIÓN

 

La derivada de una función exponencial de base a es igual a la misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base.

 

 

PROPUESTA DE TRABAJO

 

1.     Modificar el deslizador hacia la derecha hasta llegar a  y observar como la función exponencial crece más rápido.

2.     Mover el deslizador hacia la izquierda hasta llegar   y mirar lo que le sucede a la función exponencial.

3.     Regresar el deslizador hacia la izquierda hasta llegar  .

4.     Modificar el deslizador hacia la derecha. Mover el punto rosa  y observar como se comporta la pendiente de la tangente de la función exponencial en color rosa.

5.     Notar que la pendiente de la recta tangente es la ordenada de la función derivada cuya abscisa es la misma que la del punto .

6.     Comprobar esto activando la casilla que activa el trazo.

7.     Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

8.     Repetir el proceso para diferentes valores de la base a y analizar el comportamiento de la función derivada.

9.     Advertir que cuando se tienen bases menores que uno y mayores que cero, la derivada es negativa.

10.   Notar que si la base es el número e, entonces la derivada se simplifica a:  .