PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente el concepto de continuidad de una función en un punto y en un intervalo.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Una función es continua en x = a cuando no hay interrupción en la gráfica de f en a. Su gráfica no aparece con huecos o saltos en f.

Formalmente, una función f es continua en un punto x = a si está definida en ese punto, y además:

En caso de no cumplir con la condición se dice que la función es discontinua.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

Una función f es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos de ese intervalo.

CLASIFICACIÓN DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

La continuidad de una función puede clasificarse en:

1. Evitable. Cuando la función en el punto no existe pero su límite si. Por ejemplo la función:

No existe en x = 3 pero su límite es 6. No es continua en x = 3 pero es evitable.

2. Inevitable.

Caso a) Cuando sus límites laterales son distintos. Por ejemplo la función:

Caso b) Cuando uno de sus límites laterales no existe. Por ejemplo la función:

CONTINUIDAD EN UNA FUNCIÓN DEFINIDA POR INTERVALOS

Las funciones definidas por intervalos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

En el applet que se presenta, se puede apreciar que la función f (x) es continua en cada en los intervalos de definición. Sin embargo, en los puntos x = 1 y x = 4 no lo es.

CONCLUSIÓN

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha:

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Identificar que la función es continua en cada uno de los intervalos de definición.

2. Notar que para que sea continua en su totalidad, se requiere que los límites laterales en ambos puntos sean iguales.

3. Mover los parámetros a y b de la recta de forma que siempre haya continuidad.

4. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.