PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente el concepto de cociente de incrementos.

COCIENTE DE INCREMENTOS

Sea una función continua .

Se define:

Incremento de x =

Incremento de y=

El cociente de incrementos es la expresión:

Esto significa que:

Esta fracción se puede interpretar como lo que crece la función por unidad de x.

Se define la derivada de la función en el punto al límite siguiente (en caso de existir):

Intuitivamente, esto significa que se va reduciendo cada vez más el intervalo de la función hasta hacerlo prácticamente cero. La derivada representa el crecimiento instantáneo de una función en el punto .

INTERPRETACIÓN GRÁFICA

El límite utilizado para definir la pendiente de una recta tangente también se utiliza para definir la derivada. Este concepto se encarga de determinar el cociente de variación de una función en un punto dado. Es decir, ofrece una formulación matemática de la noción del cociente de cambio.

El cociente de cambio indica lo rápido que crece o decrece una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje x, de un plano cartesiano de dos dimensiones. Para cada punto de la curva este cociente sería diferente, por lo que se determina como razón de cambio variable.

Gráficamente esto es:

CONCLUSIÓN

Al cociente de incrementos también se le conoce también como razón de cambio promedio.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Fijar el punto .

2. Arrastrar el punto rojo y acercarlo al punto .

3. Notar como cambian los valores de y de .

4. Observar que le ocurre a cuando es muy pequeña.

5. Analizar que le sucede a cuando .

6. Notar que la recta secante en rosa se convierte en tangente cuando llega a . Analizar por qué desaparece.

7. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

8. Modificar los valores de los deslizadores para redefinir la función y repetir el proceso.