PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente la propiedad de reflexión de la hipérbola.

DEFINICIÓN

La hipérbola es el lugar geométrico de un punto en el plano que se mueve de forma tal que la diferencia de distancias a dos puntos fijos y (llamados focos) es constante.

PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA HIPÉRBOLA

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco.

Si y son los focos de una hipérbola, el ángulo que forma el rayo incidente con la recta tangente es igual al que forma el rayo reflejado del otro lado.

DEMOSTRACIÓN

Sean y son los focos de una hipérbola.

Sea P un punto de la hipérbola y r la recta tangente a la hipérbola en P.

Gráficamente:

La recta tangente en un punto es bisectriz del ángulo formado por los radios focales.

Como r es la bisectriz del ángulo formado por las rectas y , entonces se cumple que:

CONCLUSIÓN

Si se dirige un haz de luz en dirección del foco F, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco F'. Este principio se usa en los telescopios y en sistemas de navegación.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Identificar las características de la elipse, extremos del eje real, del eje imaginario y los focos.

2. Mover el deslizador negro hacia arriba para iniciar la trayectoria del rayo desde F y comprobar que al llegar al punto P que es tangente a la hipérbola, se refleja hacia el foco F’.

3. Mover el ángulo a cambiar la dirección del rayo y repetir el proceso.

4. Activar la casilla para observar la ecuación de la hipérbola.

5. Mover los puntos V y B para modificar la forma de la elipse y repetir el proceso.

6. Pulsar el botón de play para iniciar la animación de forma automática.

7. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.