PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente el concepto de función inversa.

FUNCIÓN INVERSA

Si f es una función que tiene por dominio al conjunto A y por rango al conjunto B , entonces se llama la función inversa de f , aquella que tiene por dominio el conjunto B y por rango al conjunto A. A la función inversa de f se le denota por Esquemáticamente esto es:

Dada una función , su inversa es otra función, designada por de forma que se verifica que si , entonces

Para encontrar la regla de correspondencia de la función inversa, se debe despejar x de la función original ya que, para la función inversa, esa es la variable dependiente. En otras palabras se efectúa el procedimiento siguiente:

- Se define

- Se intercambia x por y.

- Se manipula algebraicamente para despejar y que es , es decir, la inversa de la función dada.

Es importante recalcar que no todas las funciones tienen inversa, sólo aquellas que son biyectivas.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante y del tercer cuadrante.

Nota: no significa

Ejemplos.

Obtener la función inversa de las siguientes funciones:

1)

Solución.

Se establece:

Intercambiando las variables:

Despejando y:

2)

Solución.

Se establece:

Intercambiando las variables:

Despejando y:

Nótese como para que cumpla con la definición de función, sólo se toma la raíz positiva.

3)

Solución.

Se establece:

Intercambiando las variables:

Despejando y:

CONCLUSIÓN

Si la función está definida por las parejas entonces la función inversa es la función definida por las parejas Esto significa que el dominio de la función es el codominio de , y el codominio de la función es el dominio de Esta característica sólo la pueden cumplir las funciones biyectivas.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Identificar que la función es biyectiva (que es uno a uno y que su rango es igual al codominio).

2. Mover el punto azul A sobre la función y ver el comportamiento del punto rojo A’.

3. Concluir que los puntos de la función son y que los puntos de la función son es decir, se intercambian las parejas ordenadas.

4. Observar que las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante y del tercer cuadrante que se representa por la recta en verde.

5. Comprobar que las gráficas corresponden al ejercicio 3.

6. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.