PLANTEAMIENTO

Se ilustran geométricamente las características de una parábola conociendo su ecuación general si su eje focal es paralelo o coincidente al eje y.

DEFINICIÓN

La parábola es el lugar geométrico de un punto en el plano que se mueve de forma tal que equidista de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA. EJE FOCAL: y

Partiendo de la ecuación ordinaria trasladada de la parábola con EP: eje y:

Si se desarrolla se tiene:

Acomodando términos:

Si se efectúan los siguientes cambios de variable:

La ecuación queda como:

Que es la ecuación general de la parábola con EP: paralelo o coincidente al eje y.

DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL

Dada la ecuación general del tipo:

Para conocer todas las características de una parábola a partir de su ecuación general se procede a factorizar una vez que se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP), a fin de obtener la ecuación ordinaria y de ahí sus características.

Ejemplos.

Dadas las siguientes ecuaciones de parábolas, encontrar todas sus características:

1)

Completando el TCP:

Factorizando el TCP:

Reduciendo términos semejantes:

Que equivale a:

Factorizando:

Esto implica que: y ,

Como tiene signo negativo, la parábola se abre hacia arriba, tiene su vértice en y su foco en .

Su directriz se ubica en: y la longitud del lado recto es:

2)

Completando el TCP:

Factorizando el TCP:

Reduciendo términos semejantes:

Que equivale a:

Factorizando:

Esto implica que: y ,

Como tiene signo negativo, la parábola se abre hacia la izquierda, tiene su vértice en y su foco en .

Su directriz se ubica en: y la longitud del lado recto es:

CONCLUSIÓN

A través del proceso de transformación de la ecuación general de la parábola a su ecuación ordinaria, se pueden conocer todas sus características derivadas del vértice y del parámetro p.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Identificar el foco, el vértice, la directriz y la ecuación general de la parábola.

2. Mover los deslizadores A, D, E y F para fijar la ecuación deseada.

3. Nótese que la ecuación mostrada puede convertirse en una del tipo , dividiendo cada término por el coeficiente A.

4. Activar la casilla para visualizar la ecuación ordinaria.

5. Activar la casilla para visualizar los cambios en todas sus características.

6. Analizar el comportamiento de cada característica al mover sólo un deslizador.

7. Notar que cuando A es negativa, se trata de una parábola que se abre hacia abajo.

8. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

9. Mover los deslizadores para fijar las ecuaciones de los ejercicios 1 y 2 y respectivamente comprobar los resultados.

10. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.