PLANTEAMIENTO
Se ilustran geométricamente las características de una parábola
conociendo su ecuación general si su eje focal es paralelo o coincidente con el
eje x.
DEFINICIÓN
La parábola es el lugar geométrico de un punto en el plano que se mueve
de forma tal que equidista de una recta fija llamada directriz y de un punto
fijo llamado foco.
ECUACIÓN GENERAL DE LA
PARÁBOLA. EJE FOCAL: x
Partiendo de la ecuación ordinaria trasladada
de la parábola con EP: eje x:
Si se desarrolla se tiene:
Acomodando términos:
Si se efectúan los siguientes cambios de variable:
La ecuación queda como:
Que es la ecuación general de la
parábola con EP: paralelo o coincidente con el eje x.
DETERMINACIÓN DE LAS
CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL
Dada la ecuación general del tipo:
Para conocer todas las características de una parábola a partir de su
ecuación general se procede a factorizar una vez que se completa el trinomio
cuadrado perfecto (TCP), a fin de obtener la ecuación ordinaria y de ahí sus
características.
Ejemplos.
Dadas las siguientes ecuaciones de parábolas, encontrar todas sus
características:
1) 
Acomodando convenientemente:
Completando el TCP:
Factorizando el
TCP:
Reduciendo términos
semejantes:
Que equivale a:
Factorizando:
Esto implica que: 
y 
, 
Como tiene signo positivo, la parábola se abre hacia la derecha, tiene su
vértice en 
y su foco en 
.
Su directriz se ubica en: 
y la longitud del lado recto es: 
2) 
Acomodando convenientemente:
Completando el TCP:
Factorizando el
TCP:
Reduciendo términos
semejantes:
Que equivale a:
Factorizando:
Esto implica que: 
y 
, 
Como tiene signo negativo, la parábola se abre hacia la izquierda, tiene
su vértice en 
y su foco en 
.
Su directriz se ubica en: 
y la longitud del lado recto es: 
CONCLUSIÓN
A través del proceso de transformación de la ecuación general de la
parábola a su ecuación ordinaria, se pueden conocer todas sus características
derivadas del vértice y del parámetro p.
PROPUESTA
DE TRABAJO
1.
Identificar
el foco, el vértice, la directriz y la ecuación general de la parábola.
2.
Mover
los deslizadores C, D, E y F para fijar la ecuación deseada.
3.
Nótese
que la ecuación mostrada puede convertirse en una del tipo ,
dividiendo cada término por el coeficiente C.
4.
Activar
la casilla para visualizar la ecuación ordinaria.
5.
Activar
la casilla para visualizar los cambios en todas sus características.
6.
Analizar
el comportamiento de cada característica al mover sólo un deslizador.
7.
Notar
que cuando C
es negativa, se trata de una parábola que se abre hacia la izquierda.
8.
Pulsar el icono que
se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.
9.
Mover
los deslizadores para fijar las ecuaciones de los ejercicios 1 y 2 y
respectivamente comprobar los resultados.
10. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la
derecha para regresar a la construcción inicial.