PLANTEAMIENTO
Se ilustran geométricamente los conceptos de dominio y rango de una función.
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Una función es
una relación con la característica de que a cada elemento del primer conjunto
le corresponde uno y solamente un elemento del segundo conjunto.
Formalmente, para
poder establecer una función es necesario que:
1) Exista un
conjunto X llamado dominio de la función.
2) Exista un
conjunto Y llamado codominio de la función.
3) Exista una regla
de correspondencia entre los dos conjuntos, de tal forma que a los
elementos del dominio les haga corresponder uno y solo uno de los elementos
del codominio.
Una función se
denota usualmente por una letra minúscula, por ejemplo: f, g, etc.
La correspondencia
entre los conjuntos X y Y de la siguiente
figura representa una
función ya que cada elemento del dominio tiene asociado uno y sólo un elemento
del codominio:
Para indicar los
elementos del dominio se escoge una letra que representa a todos los elementos
de este conjunto. Esta letra recibe el nombre de variable, ya que puede tomar
como valor cualquier elemento del conjunto. Usualmente se escoge la letra x.
El valor que toma
la variable x no depende de ninguna condición. Esta
variable puede tomar como valor cualquier elemento del dominio, por eso se le
llama variable independiente.
Los elementos del
segundo conjunto también pueden ser representados si se utiliza una variable
(usualmente la letra y). No obstante, esta segunda variable depende del valor que
se le ha asignado a la variable independiente, y es por eso que recibe el
nombre de variable dependiente.
Considerando lo
anterior, y es una función de x, lo cual se expresa simbólicamente como: 
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una
función no se especifica, sino que sólo se da una regla o ecuación que define
la función. El dominio de una función f de variable real, que se denota por 
es el conjunto de
números reales para el cual la regla tiene sentido, o más específicamente, para
el cual el valor 
es
un número real.
IMAGEN Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
El elemento que se
obtiene en el segundo conjunto después de aplicar la regla de correspondencia a
un elemento del primer conjunto, recibe el nombre de imagen. Si x es el elemento en el dominio la imagen se denota como .
Rango
o recorrido es
el conjunto formado por todas las imágenes correspondientes al dominio.
Gráficamente:
Lo importante consiste en encontrar todos los valores de entrada que llevan
a un valor real de salida en una función, o dicho de otro modo, obtener los
valores que tienen que ser excluidos del dominio de la función.
Para todo fin práctico, para encontrar el dominio de la función se debe
considerar lo siguiente:
1. Si se tiene una función racional, el dominio será todos los números
reales menos aquellos que hagan que ese denominador sea cero.
2. Si se tiene una raíz de índice par, el dominio será todos los números reales
que no hagan que el radicando de la raíz sea menor que cero.
Para calcular el rango de
una función se despeja la variable x, expresión que queda en términos de y y se obtienen los
valores de y que hacen que exista dicha expresión.
Ejemplos.
Obtener el dominio y rango de las siguientes funciones:
1) 
Solución.
Como la función no
es racional ni irracional, existe para cualquier valor de x, es decir: 
Se establece: 
Despejando x: 
Como la expresión
tampoco es racional ni irracional, existe para cualquier valor de y, es decir: 
2) 
Solución.
Como la función no
es racional ni irracional, existe para cualquier valor de x, es decir:
Se establece: 
Despejando x: 
Analizando el
radicando: 
Así que el rango
es: 
3) 
Solución.
La función tiene sentido mientras que 
Así que: 
por
lo que 
Se establece: 
Despejando x: 
La expresión tiene sentido mientras que 
Así que el rango
es: 
4) 
Solución.
La función tiene sentido mientras que 
Así que: 
por
lo que
y 
Así que: 
Se establece: 
Despejando x: 
La expresión tiene sentido mientras que
La expresión tiene sentido mientras que 
Desigualdad, cuyos
puntos críticos son: -3 y -1.
Los intervalos que
cumplen con la condición son: 
y 
Así que el rango
es: 
CONCLUSIÓN
El
dominio de una función es el conjunto de elementos x que hacen que la función tenga sentido. La
imagen de x
se designa por . El rango es el conjunto de imágenes.
PROPUESTA
DE TRABAJO
1. Identificar que la función es racional.
2. Mover el punto 
sobre el eje de las abscisas y ver el
comportamiento del punto P.
3. Notar que el dominio de la
función son los puntos en verde para los cuales la función tiene sentido.
4.
Observar que la imagen y de la función para cada valor de x es el punto en azul.
5.
Ubicar los puntos x en donde la función es indefinida.
6.
Concluir que el dominio de la función es 
7.
De acuerdo al comportamiento de los puntos en azul, concluir
que el rango de la función es 
8.
Advertir que la gráfica corresponde a la función del
ejercicio 4.
9. Pulsar el icono que se sitúa
arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.