PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente el concepto de división de un segmento en una razón dada.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto que satisface la comparación entre dos magnitudes.

En general, si la razón es de la forma , implica que el segmento se divide en a + b partes. Por ejemplo, si , el segmento se divide en 11 partes iguales.

Sean los puntos, así como el segmento de recta que los une:

Sea un punto que pertenezca al segmento. Si se forman los triángulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es:

y

Donde r es la razón de proporcionalidad de semejanza.

Si se despeja x de la primera ecuación se tiene:

Análogamente se puede encontrar que:

Expresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada.

En el caso particular en que se trate del punto medio, r vale , y las ecuaciones se convierten en:

y

CONCLUSIÓN

Con r = 0, el punto se ubica en A medida que r va creciendo se desplaza hacia . En su punto medio r vale 1. Cuando r es negativa, el punto se ubica en su prolongación hacia abajo alejándose hasta que llega a r = -1 donde es infinito y cambia de sentido. Al seguir decreciendo, tiende a .

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Observar los puntos , así como el segmento de recta que los une.

2. Notar que el punto P en rojo es el punto de división del segmento.

3. Mover que el punto P y ver que la razón cambia de igual manera para x como para y.

4. Mover los puntos y y ver el comportamiento de la razón.

5. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

6. Desplazar el punto P hasta y observar lo que le sucede a la razón.

7. Aproximar sucesivamente el punto P hasta y observar lo que sucede a la razón.

8. Ubicar el punto P hasta que sea r = 1, notar que es el punto medio del segmento.

9. Desplazar el punto P fuera del segmento y observar que la razón es negativa. En su prolongación hacia abajo r se ubica entre 0 y -1. En su prolongación hacia arriba r es menor a -1.

10. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.