PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente la mínima distancia que separa un punto de una recta.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Para encontrar la distancia de un punto a una recta , primero se encuentra el punto de intersección de la recta con su perpendicular y después se aplica la distancia entre dos puntos.

Gráficamente esto es:

Dado que su pendiente es , la pendiente de una recta perpendicular es

La ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto es:

Desarrollando:

Para encontrar el punto de intersección se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Multiplicando la primera ecuación por A, la segunda ecuación por B, y sumando se obtiene:

La distancia que separa a los puntos y es:

Encontrando un denominador común y simplificando:

Factorizando y simplificando se llega a:

Extrayendo la raíz cuadrada, se obtiene que la mínima distancia que separa a la recta del punto es:

En el caso en que se quiera encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, basta con determinar un punto de una de las rectas y aplicar la expresión anterior.

Ejemplo.

Determinar la distancia del punto a la recta

Solución.

Ejemplo.

Determinar la distancia de la recta a la recta

Solución.

Cuando la recta pasa por el eje x, entonces , por lo tanto:

Entonces un punto de la primera recta es , así que la distancia que separa a las rectas es:

CONCLUSIÓN

La distancia de un punto P a una recta R es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Observar que los deslizadores determinan los coeficientes de la recta en su forma general.

2. Activar la casilla para ver la distancia del punto a la recta.

3. Mover los deslizadores y el punto P y ver como varía la distancia entre el punto y la recta.

4. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

5. Mover el punto a y observar lo que sucede.

6. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

7. Efectuar en el cuaderno el proceso de obtención de la distancia con los datos dados. Comprobar el resultado obtenido con el mostrado.