PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente como se puede construir una hipérbola.

DEFINICIÓN

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante e igual a la distancia que hay entre sus vértices..

El segmento de recta que comprende la distancia entre los vértices se llama eje real (o transversal), el punto medio de este segmento recibe el nombre de centro, y el segmento recta que pasa por el centro pero es perpendicular al eje real recibe el nombre de eje imaginario (o conjugado).

La hipérbola se compone de dos curvas separadas, llamadas ramas, que son simétricas respecto del eje real, del eje imaginario y del centro.

HIPÉRBOLA HORIZONTAL

Si el eje real está en el eje de las abscisas, los vértices se encuentran en y y los focos en: y

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que , se llega a:

Que es la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen.

HIPÉRBOLA VERTICAL

Si el eje real está en el eje de las ordenadas, los vértices se encuentran en y y los focos en: y

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que , se llega a:

Que es la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen.

CONCLUSIÓN

La hipérbola es el conjunto de puntos en el plano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano, llamados focos, es constante e igual a 2a, considerando que la distancia del centro a cada vértice es a.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Mover el deslizador c y observar los cambios en la ubicación de los focos.

2. Mover el deslizador a y observar los cambios en la ubicación de los vértices.

3. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

4. Activar el trazo del punto P y moverlo. Lo que se genera es una rama de la hipérbola.

5. Activar el trazo del punto P’ y moverlo. Lo que se genera es la otra rama de la hipérbola.

6. Notar que los puntos P y P’ cumplen con la definición y que la diferencia de distancias a los focos siempre es igual a 2a.

7. Para ver la ecuación de la hipérbola, activar la casilla correspondiente.

8. Notar que si c < a entonces la hipérbola desaparece, ya que no cumple con la definición.

9. Observar que si los focos y los vértices estuvieran en el eje y, la hipérbola sería vertical.

10. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.