PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente como se puede construir una elipse.

DEFINICIÓN

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante e igual a la distancia que hay entre sus vértices.

El segmento de recta que comprende la distancia entre los vértices se llama eje mayor, el punto medio de este segmento recibe el nombre de centro y el segmento recta que pasa por el centro pero es perpendicular al eje real recibe el nombre de eje menor.

La elipse es una curva cerrada, es simétrica respecto del eje mayor, del eje menor y del centro.

ELIPSE HORIZONTAL

Si el eje mayor está en el eje de las abscisas, los vértices se encuentran en y y los focos en: y

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que , se llega a:

Que es la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.

ELIPSE VERTICAL

Si el eje mayor está en el eje de las ordenadas, los vértices se encuentran en y y los focos en: y

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que , se llega a:

Que es la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen.

CONCLUSIÓN

La elipse es el conjunto de puntos en el plano cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano, llamados focos, es constante e igual a 2a, considerando que la distancia del centro a cada vértice es a.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Mover el deslizador c y observar los cambios en la ubicación de los focos.

2. Mover el deslizador a y observar los cambios en la ubicación de los vértices.

3. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

4. Activar el trazo del punto P y moverlo. Lo que se genera es una elipse.

5. Notar que el punto P cumple con la definición y que la suma de distancias a los focos siempre es igual a 2a.

6. Para ver la ecuación de la elipse, activar la casilla correspondiente.

7. Notar que si c > a entonces la elipse desaparece, ya que no cumple con la definición.

8. Observar que si los focos y los vértices estuvieran en el eje y, la elipse sería vertical.

9. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.