PLANTEAMIENTO

Se ilustra geométricamente el concepto de asíntota vertical y de asíntota horizontal.

DEFINICIÓN DE ASÍNTOTA

Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la gráfica se aproxima indefinidamente pero nunca la toca ni la cruza. A medida que la una variable tiende hacia un cierto valor, la otra variable tiende a infinito, cualquiera que este sea. En general, la recta puede tener orientación. Aquí se estudiarán las verticales y las horizontales.

En la siguiente gráfica se observan dos asíntotas verticales (en rojo) y una horizontal (en verde) que corresponden a la ecuación :

ASÍNTOTAS VERTICALES

Son rectas verticales asociadas a la función. Se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma:

Y se determinan encontrando las raíces del denominador correspondiente. El número de raíces asociadas a una función determinan el número de asíntotas verticales que tiene tal función.

Ejemplo.

Hallar las asíntotas verticales de la función:

Solución.

El polinomio del denominador es de grado dos: que tiene dos raíces.

y

Así que los valores de las asíntotas verticales son: y

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Son rectas horizontales asociadas a la función. Se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma:

Y se determinan haciendo que la variable independiente x, tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la función cociente tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar ni a cruzar.

Dependiendo de la relación entre los grados de los dos polinomios, se tienen tres casos:

I. El polinomio y tienen el mismo grado.

La asíntota horizontal es la recta dada por el cociente de los coeficientes de grado mayor.

Ejemplo.

Hallar la asíntota horizontal de la función:

Solución.

Se dividen los coeficientes de los términos de mayor exponente:

Así, el valor de la asíntota horizontal es:

II. El grado del polinomio es menor que el de .

En estos casos, la asíntota horizontal es la recta

Ejemplo.

Hallar la asíntota horizontal de la función:

Solución.

Como el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, el valor de la asíntota horizontal es:

III. El grado del polinomio es mayor que el de .

En estos casos, no hay asíntota horizontal.

Ejemplo.

Hallar la asíntota horizontal de la función:

Solución.

Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, no existen asíntotas horizontales.

CONCLUSIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. En una función racional, las asíntotas verticales se obtienen de las raíces del polinomio del denominador, mientras que las asíntotas horizontales dependen de la relación que exista entre los grados del polinomio del numerador y del polinomio del denominador.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Observar que la función que se plantea es racional.

2. Activar las casillas para ver las respectivas asíntotas.

3. Notar que son rectas que nunca tocan a la curva y se aproximan indefinidamente.

4. Mover los deslizadores para cambiar la función y ver el comportamiento de las asíntotas.

5. Concluir que se tiene una sola asíntota vertical que es el valor de x que hace cero al denominador.

6. Notar que para todos los casos, se tiene una sola asíntota horizontal en porque los polinomios tienen el mismo grado y se dividen los coeficientes.

7. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.