PLANTEAMIENTO

Se expone cómo obtener el área de un polígono dadas las coordenadas de sus vértices.

ÁREA DE UN POLÍGONO

Un polígono estrellado de vértices se puede dividir en triángulos a partir de un punto interior al polígono . Por lo tanto, el área del polígono es igual a la suma del área de los triángulos, tal y como se observa en la siguiente imagen:

En la anterior fórmula se debe recordar que es , para cerrar el polígono.

Si se desarrolla la expresión del área, se aprecia que todos los términos que contienen o se cancelan, quedando:

Ahora, si se agrupan los términos que se suman por un lado y los que se restan por otro lado, se llega a:

Este resultado se puede resumir de forma mnemotécnica mediante la expresión de “productos cruzados”. Esto significa que para el cálculo de las áreas de polígonos de más de tres lados, el uso de los determinantes es muy útil, aumentando el número de renglones hasta hacerlos coincidir con el número de lados. Generalizando la fórmula para calcular el área de un triángulo, para obtener el área de un polígono irregular de lados se aplica la siguiente expresión:

donde , , , son los vértices del polígono. En este arreglo, se establece que los productos con las flechas hacia abajo quedan con el signo que sale. Los productos con las flechas hacia arriba se les cambian el signo obtenido.

Ejemplos.

1) Obtener el área del cuadrilátero lados cuyos vértices son: y

Solución.

Aplicando la fórmula:

2) Obtener el área del pentágono cuyos vértices son: y

Solución.

Aplicando la fórmula:

CONCLUSIÓN

Para encontrar el área de un polígono dados sus vértices, se puede aplicar tanto la fórmula como el determinante. Si no hay una unidad específica en las coordenadas, el resultado se expresa en unidades cuadradas puesto que es una superficie.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Observar que el polígono mostrado corresponde a un pentágono.

2. Mover cualquiera de los vértices, observar sus coordenadas y ver cómo se modifica su área.

3. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

4. Activar la casilla para comprobar que el área mostrada es la misma que la obtenida con el determinante.

5. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

6. Comprobar el resultado del primer ejercicio resuelto haciendo:

7. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.

8. Comprobar el resultado del segundo ejercicio resuelto haciendo:

9. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.