PLANTEAMIENTO

Se establece la representación gráfica de las raíces de un polinomio.

DEFINICIÓN DE POLINOMIO

Un polinomio en de grado es una expresión del tipo:

donde y son coeficientes reales y se lee como “ de ”.

RAÍCES DE POLINOMIOS

Se dice que es un cero o raíz, de si y sólo si . Es decir, la raíz de un polinomio es el número que toma la variable para que el valor numérico de sea cero.

Ejemplo.

En el polinomio , sus raíces son:

ya que

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

El teorema fundamental del álgebra enunciado por Federico Gauss en 1799 establece que:

“Toda ecuación en de grado tiene raíces complejas”

Esto significa que todo polinomio en con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos un factor de la forma , donde es un número complejo.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RAÍCES DE LOS POLINOMIOS

Las intersecciones de un polinomio con el eje de las representan sus raíces reales. Esto significa que dados dos puntos y , si y ) tienen signo contrario, entonces hay por lo menos una raíz entre esos puntos.

Si un polinomio tiene raíces complejas. Entonces si es una raíz, el complejo conjugado también es raíz del polinomio. Por lo tanto, las raíces complejas se presentan por pares.

CONCLUSIÓN

Un polinomio de grado tiene siempre raíces complejas. Son reales si cruzan al eje y si son complejas, siempre están en pares conjugados.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Observar que se pueden construir polinomios hasta de cuarto grado.

2. Mover los deslizadores para seleccionar el polinomio deseado.

3. Observar que los puntos con los que cruza al eje son sus raíces reales.

4. Notar que cuando las raíces son complejas, siempre se presentan en forma de pares conjugados

5. Repetir el proceso con otros polinomios y analizar su comportamiento. Para visualizar mejor el resultado, se sugiere mover la escala.

6. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.