PLANTEAMIENTO

Se expone el método de división sintética para obtener las raíces enteras de un polinomio.

TEOREMA DEL RESIDUO

Si se tiene un polinomio y se divide entre el residuo de la división es .

Demostración:

Si se divide entre se tiene:

donde es el cociente y es el residuo.

Si ahora se evalúa se obtiene:

De donde es el residuo.

TEOREMA DEL FACTOR

Si es una raíz del polinomio , entonces es un factor del polinomio. O bien, si es un factor de , entonces es una raíz del polinomio. Esto es:

es un factor de .

Demostración:

Si es factor de entonces se cumple que:

porque

por lo tanto, es raíz de la ecuación .

Pero si es raíz de la ecuación , esto implica que

Si se aplica el teorema del residuo se tiene que:

por lo tanto es factor de

DIVISIÓN SINTÉTICA

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando un algoritmo llamado Regla de Ruffini que aplica el teorema del residuo verificando cuál de estos valores da como residuo cero. Este es un procedimiento que permite hallar el cociente y el residuo. Esta regla aplica sólo si el divisor es un polinomio de la forma .

En general, la división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio de la forma entre un polinomio lineal expresado como y sólo sirve para obtener las raíces enteras.

La metodología para encontrar las raíces enteras de un polinomio mediante la división sintética es la siguiente:

- La disposición práctica requiere que en un primer renglón se escriban los coeficientes del dividendo ordenado de forma descendente y completo hasta el término independiente. A la izquierda de una línea vertical se escribe un valor de prueba como probable raíz, que como ya se mencionó es un divisor de .

- El primer coeficiente del dividendo se copia abajo en una tercera fila en la misma columna. Se multiplica el valor de prueba por el primer coeficiente de la tercera fila y el resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo.

- Se suman los coeficientes de la segunda columna y el resultado se escribe en la tercera fila.

- El resultado obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se multiplica por el valor de prueba y el resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo. Nuevamente se suman los coeficientes de la tercera columna y el resultado se escribe en la tercera fila

- El proceso continúa hasta que se obtenga el resultado de la última columna. Este valor es el residuo. Si es cero entonces el valor de prueba es una raíz del polinomio

- De no ser una raíz, se repite la metodología con otro valor de prueba hasta encontrar un valor cuyo residuo sea cero.

- Cuando el residuo es cero, los valores de la tercera fila representan los coeficientes del polinomio reducido y se efectúa el mismo procedimiento con estos coeficientes hasta que se llegue a un polinomio de grado uno, a fin de que se pueda despejar para obtener la última raíz.

CONCLUSIÓN

La división sintética es un método abreviado para dividir polinomios, donde se divide el coeficiente de los polinomios, eliminando las variables y los exponentes. La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma , logrando una manera más compacta y sencilla de realizar la división aplicando la metodología descrita.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Llenar las casillas con los coeficientes del polinomio (hasta grado cinco) y de la constante a del divisor .

2. Llenar las casillas en color verde utilizando el proceso de la división sintética expuesto, siempre que aparezca la señal Sigue.

3. Si el número no fue bien elegido se obtendrá la etiqueta Falló, se deberá escoger otro número y se deberá empezar nuevamente.

4. Si el número fue bien elegido, entonces es una raíz del polinomio y se obtendrá la etiqueta: Muy Bien.

5. Trabajar con el polinomio reducido y repetir el proceso hasta obtener las raíces del polinomio de grado .

6. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.