PLANTEAMIENTO

Se ilustra cómo resolver ecuaciones de segundo grado con una variable aplicando la fórmula general.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

Una ecuación de segundo grado en una variable es aquella que, una vez realizadas todas las reducciones posibles, el máximo exponente es dos.

Una ecuación de este tipo también es llamada ecuación cuadrática y tiene la forma general:   

Donde , y son números reales; y es la incógnita. El monomio recibe el nombre de término cuadrático, se conoce como término lineal y es el término independiente.

Una ecuación de segundo grado tiene siempre dos respuestas (algunas veces repetidas). El objetivo de resolverla es obtener las raíces y , si existen, para los que la igualdad de la ecuación es cierta.

Una ecuación cuadrática puede ser de dos tipos:

Ecuación completa si  y

Ecuación incompleta si ó .

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE MEDIANTE LA FÓRMULA GENERAL

Existe una fórmula general que puede aplicarse a cualquier ecuación de segundo grado en una variable y que permite conocer la naturaleza de las raíces.

Para resolver la ecuación de segundo grado en el caso general, se necesita que el primer miembro sea un cuadrado perfecto:

Sea la ecuación:

se traspone el término independiente al segundo miembro:

dividiendo por :

sumando para que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto:

expresión que equivale a:

acomodando el segundo miembro:

expresión que equivale a:

factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:

aplicando propiedades de los radicales:

se traspone el término al segundo miembro:

acomodando convenientemente se llega a:

expresión conocida como fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado.

En  la  fórmula general, la cantidad:   es  llamada discriminante de la ecuación y determina la naturaleza de las raíces, de acuerdo a lo siguiente:

· Si , las raíces son reales y diferentes. 

· Si , las raíces son reales e iguales. 

· Si , las raíces son complejas conjugadas. 

Gráficamente, una ecuación de segundo grado representa a una curva llamada parábola. Si entonces la parábola se abre hacia arriba. Si , entonces la parábola se abre hacia abajo.

Las raíces reales de una ecuación son los puntos en que corta o toca al eje . Si la parábola nunca toca al eje entonces las raíces son complejas.

CONCLUSIÓN

Resolver una ecuación de segundo grado con una variable consiste en encontrar los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad. Si el discriminante es mayor o igual a cero, las raíces son reales, si el discriminante es negativo, entonces las raíces son complejas. En el primer caso, cruzan o tocan al eje , en el segundo nunca lo toca.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Mover los deslizadores para elegir los coeficientes de la ecuación deseada.

2. Observar el procedimiento de solución a través de la fórmula general.

3. Ver la naturaleza de las raíces.

4. Mover los deslizadores para elegir una ecuación que tenga raíces reales repetidas y analizar el discriminante.

5. Mover los deslizadores para elegir una ecuación que tenga raíces complejas y comprobar que no la parábola no toca al eje .

6. Efectuar el procedimiento anterior pero ahora con una parábola cuyo valor de sea negativo.

7. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.