PLANTEAMIENTO

Se definen las cuatro operaciones básicas en los números complejos y se muestran gráficamente sus resultados.

DEFINICIÓN DE NÚMEROS IMAGINARIOS

Se define como unidad imaginaria al número que elevado al cuadrado es .

Formalmente, el conjunto de los números imaginarios I, se define como:

Ejemplos de números imaginarios:

DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Se denomina número complejo a toda expresión de la forma donde , son números reales e es la unidad imaginaria. El primer término del binomio es la parte real del número complejo y la segunda es su parte imaginaria (que es un número real multiplicado por la unidad imaginaria).

En términos generales, el conjunto de los números complejos, denotado por C, en forma binómica puede expresarse de la siguiente forma:

Ejemplos de números complejos:

Si , el número complejo es un imaginario puro. Si , el número complejo es un número real. De esto, se deduce que los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de los números complejos:

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Sean y dos números complejos

SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

se define como:

RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

se define como:

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

pero considerando que y agrupando las respectivas partes reales y las imaginarias, se tiene que:

COMPLEJOS CONJUGADOS

Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. Esto es, dado un número complejo , su conjugado denotado como es:

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para obtener basta con multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del a fin de que el denominador resultante sea real:

ordenando se tiene:

CONCLUSIÓN

La suma y la resta de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales. También son equivalentes a la suma y la resta con vectores, teniendo en cuenta que a cada número complejo se le hace corresponder un vector. La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasa a ser un número real.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. En las casillas de entrada ubicar los números complejos deseados.

2. Mover el deslizador para seleccionar la operación.

3. Observar que la suma y resta equivalen a la suma y resta de vectores.

4. Analizar el proceso de multiplicación.

5. Analizar el proceso de división.

6. Ingresar nuevos números complejos en las casillas y repetir el proceso. Para visualizar mejor el resultado, se sugiere mover la escala.

7. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.