PLANTEAMIENTO

Se expone la función de distribución normal y observar el impacto de variar los parámetros en su gráfica.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si se tiene una gran cantidad de valores observados de la variable de interés, se podría construir un histograma en el que las bases de los rectángulos fuesen cada vez más pequeñas, de modo que el polígono de frecuencias tendría una apariencia cada vez más suavizada. Esta curva suave representa de modo intuitivo la distribución teórica de la característica observada.  Es la llamada función de densidad. Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra una aproximación de la función de densidad del desempeño escolar de alumnos de una primaria privada:

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. La distribución normal es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su nombre expresa la normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

La función densidad de la distribución normal está dada por:

Esta función determina la curva en forma de campana que se muestra a continuación:

Se dice que una característica sigue una distribución normal de media y varianza denotada como si su función de densidad viene dada por la ecuación

Para obtener la probabilidad la función se debe integrar entre los límites de la variable Esto es:

La integral anterior determina el área bajo la curva de la función, desde hasta que corresponde a la probabilidad buscada. Sin embargo, integrar esta función es no es fácil.

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar o estandarizar el valor de la variable que corresponde a una distribución de media y varianza (a esto se le conoce como distribución normal estándar).

A partir de cualquier variable que siga una distribución se puede obtener otra característica con una distribución normal estándar, al efectuar la transformación:

Este valor de es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades se muestra en la siguiente página.

Es importante resaltar que no siempre el valor buscado es el del intervalo Existen casos en que se requiere encontrar la probabilidad de un valor complementario o la de un valor negativo.

Las siguientes figuras muestran seis casos posibles para encontrar las probabilidades.

Ejemplo.

El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de días y desviación estándar de días. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a días.

Solución.

Si es la variable que define la tarea de la empresa.

días

días

Como su distribución no es no se puede utilizar la tabla para calcular la probabilidad que se busca. Sin embargo, si se estandariza la distribución, aplicando la transformación se obtiene la variable:

de la tabla, la probabilidad acumulada para el valor es de:

Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a días es de aproximadamente

CONCLUSIÓN

La distribución normal es un ejemplo importante referido a una variable aleatoria continua (la variable puede tomar cualquier valor real). La distribución normal se usa como una herramienta para calcular probabilidades. La función de densidad de una distribución normal tiene forma de campana. Es simétrica en torno a la media. El área total bajo la curva es (como corresponde a una función de densidad).

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Notar que la función de densidad de una distribución normal tiene forma de campana.

2. Mover el primer deslizador para establecer la media y ver el efecto que causa en la función.

3. Mover el segundo deslizador para establecer la desviación estándar y ver el efecto que causa en la función.

4. Identificar los seis casos posibles para encontrar las probabilidades.

5. Apreciar que la suma de las regiones bajo la curva es

6. Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.